Множество непрерывных функций имеет мощность континуума. Структура некоторых числовых множеств. Контрольные вопросы и задания

Важным вопросом при изучении множеств; является вопрос о том, как сравнивать между собой два множества, имея в виду «количество» элементов, в них содержащихся. Если мы имеем два множества, каждое из которых содержит конечное число элементов, то элементы в этих множествах мы можем просто каким-нибудь способом занумеровать. При этом может оказаться, что в первом и втором множествах содержится одина ковое число элементов. Назовем такие два множества, содержащие конечное и одинаковое число элементов, эквивалентным и. Если в одном из рассматриваемых множеств элементов окажется больше, то мы будем говорить, что оно имеет большую» мощность, чем другое из рассматриваемых множеств.

Обратимся теперь к множествам, состоящим из, вообще говоря, бесконечного числа элементов. Примерами таких множеств являются множество рациональных чисел или множество вещественных чисел, лежащих на сегменте .

Назовем два множества А и В эквивалентными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому элементу отвечает единствённый элемент каждый, элемент сопоставлен некоторому элементу и разным элементам множества А отвечают разные элементы множества В.

Взаимно однозначное соответствие называют иногда биективным соответствием.

В частности, множества, содержащие конечное число элементов, эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Эквивалентность множеств А и В обозначается так:

Покажем, например, что множество рациональных чисел и множество натуральных чисел эквивалентны. Заметим сначала, что для любого целого два рациональных числа являются одинаковыми (здесь ). Поэтому всякое рациональное число можно записать в виде и дробь считать несократимой. Число 0 будем считать записанным одним способом:

Назовем число высотой рационального числа Ясно, что рациональных чисел имеющих данную высоту, конечное число. Будем нумеровать натуральными числами рациональные числа по возрастанию высоты, т. е. сперва занумеруем все рациональные числа высоты Такое число только одно: 0. Этому рациональному числу припишем индекс 1, т. е., поставим ему в соответствие натуральное число 1. Затем занумеруем рациональные числа высоты Таких чисел два:

и Первому из них поставим в соответствие натуральное число 2 (т. е. занумеруем его индексом 2), второму - число 3. После этого занумеруем рациональные числа высоты 3 и т. д. Ясно, что при этом мы установим взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами, т. е.

Введем понятие счетного множества.

Определение 1. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Согласно этому определению и рассуждениям, проведенным выше, мы получаем, что множество рациональных чисел является счетным множеством.

Докажем следующие два простых утверждения о счетных множествах.

Утверждение 1. Всякое непустое подмножество счетного множества является или множеством, состоящим из конечного числа элементов, или множеством счетным.

Доказательство. Пусть А - исходное счетное множество, т. е. - множеству натуральных чисел. Это означает, что элементы множества А можно занумеровать каким-нибудь способом. Расположим элементы множества А в виде последовательности: Пусть В - непустое подмножество множества А. Рассмотрим последовательно элементы множества А. Если то этот элемент мы обозначим через если мы переходим к рассмотрению элемента При рассмотрении элемента могут представиться две возможности: а) элемент если при этом было выполнено, что и то элемент мы обозначим через если же то элемент обозначается через элемент тогда переходим к рассмотрению элемента Ясно, что при этом может случиться, что все элементы множества В будут расположены в виде конечной последовательности: . В этом случае множество В состоит из конечного числа элементов. Если этого не случится, то мы выпишем все элементы множества В в виде бесконечной последовательности элементов откуда следует, что множество В счетное. Утверждение доказано.

Утверждение 2. Сумма любой конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство. Рассмотрим, например, случай, когда имеется счетная совокупность счетных множеств. Пусть - совокупность множеств, каждое из которых счетно. Расположим элементы множеств в виде последовательностей:

Пусть Произведем нумерацию элементов а множества следующим образом:

У некоторых множеств могут оказаться общие элементы (при ). В этом случае мы их учитываем только один раз.

Таким образом, элементы множества А можно занумеровать т. е. поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел т. е. А счетно. Утверждение доказано.

Возникает вопрос: существуют ли бесконечные несчетные множества, т. е. такие бесконечные множества, которые нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел? Ответ содержится в доказываемой ниже теореме.

Теорема 2.2. Множество всех точек сегмента несчетно.

Доказательство. Рассмотрим интервал (0, 1). Очевидно, что если мы докажем, что интервал (0,1) несчетен, то и сегмент будет несчетен, так как множество точек сегмента отличается от множества точек интервала (0,1) всего двумя точками: 0 и 1. Итак, докажем, что множество точек интервала (0, 1) несчетно. Допустим противное, т. е. предположим, что все вещественные числа интервала (0, 1) можно занумеровать.

Записывая все числа интервала в виде бесконечных: десятичных дробей, получим, что

Рассмотрим на интервале (0,1) вещественное число где - любая цифра, отличная от - любая цифра, отличная от - любая цифра, отличная от и 9. Достаточно доказать, что число х не совпадает ни с одним из чисел Число не содержит после запятой нулей и девяток, т. е. это число не принадлежит классу

рациональных чисел, представимых двумя способами в виде бесконечных десятичных дробей. В таком случае число х допускает единственное представление в виде бесконечной десятичной дроби и оно отлично от всех чисел ибо совпадение числа х с каким-либо числом означало бы совпадение и Таким образом, интервал (0, 1), а вместе с тем и сегмент несчетен. Теорема доказана.

Определение 2. Множество, эквивалентное множеству точек сегмента , называется множеством мощности континуум а.

Из доказанной теоремы 2.2 следует, что множества мощности континуума и счетные множества не являются эквивалентными между собой множествами. В частности, из теоремы 2.2 следует, что существуют иррациональные числа, так как уже на сегменте не все числа рациональны: в противном случае их можно было бы перенумеровать. Из теоремы 2.2 также следует, что иррациональных чисел несчетное множество, так как если бы их было счетное множество или конечное число, то по утверждению 2 и всех чисел - рациональных и иррациональных - было бы счетное множество.

Рассмотрим два произвольных множества А и В. Если эти множества являются эквивалентными, то мы будем говорить, что они имеют одинаковую мощность или являются равномощными.

Для обозначения равномощности множеств А и В используют следующую символику:

Если множество А эквивалентно некоторому подмножеству множества В и при этом множество А не содержит подмножества, эквивалентного множеству В, то будем говорить, что мощность множества А меньше мощности множества В.

Для обозначения того, что мощность множества А меньше мощности В, используют следующую символику:

Например, из данного выше определения множества мощности континуума, из теоремы 2.2 и из утверждения 1 о счетных множествах следует, что мощность счетного множества меньше мощности множества сегмента , т. е. мощности континуума.

Итак, нами введено сравнение мощностей двух множеств. Логически возможны еще два случая:

а) Множество А содержит подмножество, эквивалентное множеству В, а множество В содержит подмножество, эквивалентное А

б) Множества A и В не эквивалентны, и ни одно из них не содержит подмножества, эквивалентного другому множеству. Нетрудно доказать, что в случае а) множества А и В будут эквивалентны. Случай же б) на самом деле невозможен.

Заметим еще, что трудной проблемой оказался вопрос о существовании множества промежуточной мощности между мощностью счетных множеств и мощностью континуума. Оказалось, что утверждение как о существовании, так и об отсутствии множества промежуточной мощности не противоречит аксиомам теории множеств и не может быть выведено из них. Тем самым это утверждение является одной из аксиом аксиоматической теории множеств.

В заключение докажем, что сегмент и интервал (0, 1) - эквивалентные или, что то же, равномощные множества. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между их элементами. Выберем на сегменте и интервале (0, 1) последовательность точек

Точке 0 сегмента поставим в соответствие точку интервала (0, 1), точке 1 сегмента поставим в соответствие точку - интервала (0, 1), далее точке сегмента поставим в соответствие точку интервала точке - сегмента поставим в соответствие точку интервала Всем остальным точкам сегмента (т. е. точкам, отличным от 0,1 и не принадлежащим выбранной последовательности) ставятся в соответствие те же точки тервала, т. е. точки, имеющие те же абсциссы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между сегментом и интервалом (0, 1) установлено.

Мощность континуума

Теорема 1. Отрезок несчетен.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть отрезок - счетное множество. Тогда все его точки можно расположить в виде последовательности

Пусть это сделано, т.е. всякая точка находится в последовательности (1).

Разделим на три равные части точками и (рис. 1). Ясно, что точка не может принадлежать всем трем отрезкам, и хотя бы один из них не содержит ее. Обозначим через тот отрезок, который не содержит (если таких отрезков два, то через называем любой из них).

Теперь разделим на три равных отрезка отрезок и обозначим через тот из новых отрезков, который не содержит точки.

Затем делим на три равных отрезка отрезок и обозначаем через тот из них, который не содержит точки и т.д.

В результате мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков которые обладают тем свойством, что,.

Так как длина отрезка с возрастанием стремиться к нулю, то по теореме Кантора о вложенных отрезках, существует точка, общая для всех отрезков, .

Так как, то точка должна входит в последовательность (1). Но это невозможно, ибо, . Отсюда получаем, что точка не может совпасть ни с одной из точек последовательности (1).

Теорема доказана

Определение 1. Если множество А эквивалентно отрезку то говорят, что А имеет мощность континуума, или короче, мощность с.

Теорема 2. Всякий отрезок, всякий интервал и всякий полуинтервал или имеет мощность с.

Доказательство

устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множествами и, откуда и следует, что А имеет мощность континуума.

Так как удаление одного или двух элементов из бесконечного множества приводит к множеству, эквивалентному исходному, то промежутки, имеет ту же мощность, что и отрезок, т.е. мощность с.

Теорема доказана.

Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.

Доказательство

Возьмем полуинтервал и точками разложим его на полуинтервалов,

Каждый из этих полуинтервалов имеет мощность с, так что мы можем связать множество и полуинтервал взаимнооднозначным соответствием. Легко видеть, что таким образом оказывается, установлено взаимнооднозначное соответствие между суммой и полуинтервалом

Теорема доказана.

Теорема 4. Сумма счетного множества попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.

Доказательство

где каждое из множеств имеет мощность с.

Возьмем на полуинтервале монотонно возрастающую последовательность и точками для которой.

Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами и для всех, мы тем самым установим взаимнооднозначное соответствие между и.

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество всех действительных чисел имеет мощность с.

Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеет мощность с.

Следствие 3. Существуют трансцендентные (неалгебраические) числа.

Теорема 5. Множество всех последовательности натуральных чисел

имеет мощность.

Доказательство

Докажем теорему двумя способами:

1) Основанное на теории непрерывных дробей.

Установим взаимнооднозначное соответствие между Р и множеством всех иррациональных чисел интервала (0, 1), считая взаимосоответствующими последовательность и иррациональное число, для которого разложение в непрерывную дробь имеет вид

Возможность соответствия и доказывает теорему.

2) Основанное на теории двоичных дробей.

Рассмотрим некоторые факты этой теории:

1. Двоичной дробью называется сумма ряда,

Указанная сумма обозначается символом

2. Всякое число допускает представление в форме

Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь вида Числа 0 и 1 разлагаются (единственным образом) в дроби,

Если же, то допускает два разложения. В этих разложениях знаки … совпадают, а знак в одном из них равен 1, а в другом 0. Все остальные знаки у первого разложения нули (0 в периоде), а у второго единицы (1 в периоде).

Например

3. Всякая двоичная дробь равна некоторому числу.

Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то есть число вида, исключение составляют дроби и, и тогда, наряду с исходным, существует еще одно двоичное разложение.

Если же двоичная дробь не содержит цифру 0 или 1 в периоде, то и других двоичных разложений не имеет

Вернемся к доказательству теоремы.

Условимся не пользоваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из полуинтервала будет иметь единственное представление в форме

причем, какое бы число ни взять, найдутся такие, что

Обратно, любой дроби (1) с этим свойством отвечает точка из. Но задать дробь (1) можно, указав те, для которых

Эти образуют возрастающую последовательность натуральных чисел

и каждой такой последовательности отвечает дробь (1). Значит, множество последовательностей (2) имеет мощность. Но между множествами и легко установить взаимнооднозначное соответствие. Для этого достаточно соотнести последовательности (2) последовательность

из, для которой,…

Теорема доказана.

Теорема 6. Если элементы множества А определяются значками, каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью

То множество А имеет мощность.

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай для трех значков, так как рассуждение имеет общий характер.

Назовем через (соответственно, и) множество значений значка (соответственно, и), при этом каждый из значков изменяется независимо от прочих и каждое из множеств, имеет мощность.

Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из множеств, и множеством всех последовательностей натуральных чисел. Это позволит установить такое же соотношение между и.

Пусть, где, .

В соответствиях между, и элементам, отвечают какие-то элементы из.

элементу отвечает последовательность,

элементу отвечает последовательность.

Соотнесем элементу последовательность, очевидно входящую в.

Этим мы действительно получили взаимнооднозначное соответствие между А и Р, значит множество А имеет мощность.

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет мощность.

Следствие 2. Множество всех точек трехмерного пространства имеет мощность.

Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с .

Теорема 7. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков, каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью, то множество А имеет мощность с.

Доказательство

Пусть множество значений значка есть.

Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с множеством Р всех последовательностей натуральных чисел.

Пусть это соответствие обозначено.

Сделав это, выберем произвольный элемент.

Тогда, где.

Пусть в соответствии значению значка отвечает последовательность

Тогда элементу отвечает бесконечная целочисленная матрица

Легко видеть, что полученное соответствие между А и множеством матриц (*) взаимнооднозначно. Стало быть, остается обнаружить, что множество имеет мощность с. Но это очевидно, так как, соотнеся матрице (*) последовательность

мы сразу получим взаимнооднозначное соответствие между и.

Значит множество А имеет мощность.

Теорема доказана.

Теорема 8. Множество всех последовательностей вида, где, независимо друг от друга, принимают значения 0 и 1, имеет мощность с.

Доказательство

Пусть - множество тех последовательностей из, в которых, начиная с некоторого места, все равны 1.

Каждой последовательности, входящей в, можно соотнести число, имеющее двоичное разложение; это число будет 1 или, причем полученное соответствие между и множеством чисел указанного вида, очевидно взаимнооднозначно, откуда следует, что множество счетное.

С другой стороны, если, входящей в соотнести число с двоичным разложением, то мы получим взаимнооднозначное соответствие между и полуинтервалом .

- кардинальное число являющееся мощностью множества всех подмножеств натуральных чисел. Следующие множества имеют К. м.: 1) множество R всех действительных чисел, 2) множество всех точек интервала (0, 1); 3) множество всех иррациональных чисел из этого интервала, 4) множество всех точек пространства R n , где п- натуральное; 5) множество всех трансцендентных чисел; 6) множество всех непрерывных функций действительного переменного К. м. нельзя представить в виде счетной суммы меньших кардинальных чисел. Для любого кардинального числа а такого, что выполняется

В частности,

Континуум-гипотеза утверждает, что К. м. является первым несчетным кардинальным числом, т. е.

Лит. : Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970.

• - 1) некоторая физическая величина, характеризующая работу в единицу времени; 2) определяют мощность множества, которая характеризует то общеелчто присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному...

  Начала современного Естествознания

• - энергетическая характеристика, равная количеству работы в единицу времени. Измеряется в ваттах...

  Словарь военных терминов

• - English: Mount power Наибольшая активная электрическая мощность, с которой электроустановка может длительно работать без перегрузки в соответствии с техническими условиями или паспортом на оборудование Источник: Термины и...

  Строительный словарь

• - см. Принцип Раменского-Глизона...

  Экологический словарь

• - в физике - интенсивность совершения РАБОТЫ или же производства или потребления, ЭНЕРГИИ. Является мерой производительности двигателя или какого-либо источника питания...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - показатель положения одного из ценозов в изучаемом континууме...

  Словарь ботанических терминов

• - физ. величина N, измеряемая отношением работы А к промежутку времени t, в течение к-рого она совершена; если работа совершается равномерно, то N=A/t. Измеряется в ваттах...
• - множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие "число элементов". М. множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - электрическая, работа электрич. тока в единицу времени. В цепи пост. тока М. равна произведению напряжения и силы тока. В цепи перем. тока различают полную мощность, активную мощность, реактивную мощность...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - English: Connection power Сумма номинальных мощностей трансформаторов и приемников электрической энергии потребителя, непосредственно подключенных к электрической сети Источник: Термины и определения в электроэнергетике...

  Строительный словарь

• - см. Континуум...

  Экологический словарь

• - энергетич. хар-ка, равная отношению работы к интервалу времени её совершения...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - механическая величина, определяющая количество работы в единицу времени...

  Морской словарь

• - величина, равная отношению произведенной работы к единице времени...

  Словарь бизнес терминов

• - 1. физическая величина, равная произведенной чем-либо работы в единицу времени 2. во мн.ч. – производственные объекты...

  Большой экономический словарь

• - задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами множеств теории следующее утверждение, называемое континуум-гипотезой: мощность Континуума есть первая мощность, превосходящая мощность...

  Большая Советская энциклопедия

"КОНТИНУУМА МОЩНОСТЬ" в книгах

Ассоциация Континуума Ледлофф

Из книги Как вырастить ребенка счастливым. Принцип преемственности автора Ледлофф Жан

Ассоциация Континуума Ледлофф Ассоциация Континуума Ледлофф - всемирная организация, объединяющая людей, стремящихся следовать принципу преемственности в своей жизни. Всю информацию об организации (на английском языке) можно получить на веб-сайте в сети Интернет по

Парадоксы континуума Зенона и решение их Аристотелем

автора Гайденко Пиама Павловна

Парадоксы континуума Зенона и решение их Аристотелем Исторический анализ позволяет по-новому увидеть и глубже понять смысл современных дискуссий, посвященных проблеме континуума и различных его видов. В своей работе мы коснемся лишь наиболее важных, узловых моментов

Проблема континуума у Канта

Из книги Понятие времени и проблема континуума автора Гайденко Пиама Павловна

Проблема континуума у Канта В философии проблему непрерывности попытался разрешить Кант, столкнувшись с затруднениями, которые эта проблема породила у Лейбница, с одной стороны, и у математиков, с другой. Рождение трансцендентального идеализма в немалой степени было

4. АБСТРАКЦИЯ ВЕЩНОГО ЭФФЕКТА КОНТИНУУМА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Из книги Классический и неклассический идеалы рациональности автора Мамардашвили Мераб Константинович

Мощность

Из книги Движение. Теплота автора Китайгородский Александр Исаакович

Мощность Чтобы судить о возможности машины производить работу, а также о потреблении работы, пользуются понятием мощности. Мощность – это работа, совершенная в единицу времени.Существует много различных единиц измерения мощности. Системе CGS соответствует единица

Мощность

Из книги Печи для бань и саун своими руками автора Калюжный Сергей Иванович

Мощность Мощность печи зависит не только от ее типа, но и от других факторов.Так, на мощность электрокаменки постоянного действия влияют объем парильни, качество теплоизоляции ее стен, а также температура окружающей среды.Для примера можно вычислить необходимое

Активная мощность

Из книги Большая Советская Энциклопедия (АК) автора БСЭ

автора Исаева Е. Л.

Мощность Грамм-сила-сантиметр в секунду (98,0665 мкВт)Килограмм-сила-метр в секунду (9,80665 Вт)Лошадиная сила (735,499

Несколько вопросов относительно континуума этого процесса

Из книги СТАНОВЛЕНИЕ ЛИЧНОСТИ.ВЗГЛЯД НА ПСИХОТЕРАПИЮ автора Роджерс Карл Р.

Несколько вопросов относительно континуума этого процесса Разрешите мне предвосхитить несколько вопросов, которые могут быть заданы в связи с процессом, который я старался описать. Является ли он именно тем процессом, с помощью которого происходят изменения личности,

Понятие Мерности в аспекте пространственно-временного континуума

Из книги Тайная Доктрина дней Апокалипсиса. Книга 2. Матрица автора Белый Александр

Понятие Мерности в аспекте пространственно-временного континуума Мы с вами уже имеем понятие о таких аспектах, как Мерность Сознания и Мерность Пространства. Пришел черед разобраться в том, как понятие Мерности стыкуется с понятием времени. С точки зрения времени наше

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными .

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка несчетно.

Доказательство.

Пусть множество точек отрезка счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x 1 , x 2 … x n , … .

Разобьем отрезок на три равные части. Где бы ни находилась точка x 1 , она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D 1 , не содержащий точку x 1 (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D 1 и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D 2 , не содержащий точку x 2 . Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D 1 É D 2 É D 3 É…ÉD n É… . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D 1 , D 2 , D 3 ,…, D n , …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x 1 , x 2 , … x n , …, т. е. последовательность x 1 , x 2 … x n , …не исчерпывает всех точек отрезка , что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка называется множеством мощности континуума .

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Пример 1.24 .

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x 2 эквивалентно множеству точек прямой –¥ < x < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Установить мощность континуума можно также, используя следующие теоремы о множествах мощности континуума (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n- мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теорема 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a , b ] имеет мощность континуума.

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества. Ответ на вопрос, существуют ли множества более высокой мощности, чем мощность континуума, дает следующая теорема (приводится без доказательства).

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ

§2. Множества мощности континуума.

Все рассмотренные до сих пор бесконечные множества были счетными, то есть равномощными множеству N натуральных чисел. Кантору принадлежит следующая замечательная теорема, которая утверждает, что существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными. Способ, которым доказывается эта теорема, называется “диагональным процессом”, или “диагональной конструкцией” Кантора. Он с успехом используется и во многих других рассуждениях.

Теорема 2.1.

Множество C = {0, 1} N всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 несчетно.

Доказательство.

Пусть X C – любое счетное подмножество. Можно записать: X = {x 1 , x 2 , …}. Каждый элемент множества X – бесконечная последовательность: x j =  j 1 ,  j 2 , …, где  jk {0, 1}. Построим новую бесконечную последовательность y = 1- 11 , 1- 22 , 1- 33 , …. Заметим, что j: y  x j , поскольку j-ые члены этих последовательностей различны:  jj  1- jj . Следовательно, yX и потому X  C . Это и означает, что C несчетно.

Определение.

Всякое множество равномощное C называется множеством мощности континуума.

Как было отмечено в предыдущем разделе, }