Многогранники и фигуры вращения. Урок черчения "Геометрические тела. Комплексные чертежи многогранников". Сечение прямоугольной трубы

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 4 Многогранники и тела вращения

• Содержание
• 1. Призма и пирамида
• 2. Построение правильных пирамид и призм
• 3. Сечение прямоугольной трубы
• 4. Построение сечения пирамиды
• 5. Пересечение пирамиды линией и призмой
• 6. Последовательность построения 2-х многогранников
• 7. Построение сечения цилиндра
• 8. Построение развертки цилиндра
• 9. Возможные сечения конуса
• 10. Построение сечения конуса и его развертки
• 11. Построение сечения шара
• 12. Построение сечений тора

1. Призма и пирамида

Призматическая поверхность неограниченной длины на чертеже может быть изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, получают основания призмы. На чертеже основания призмы удобно располагать параллельно плоскости проекций. Чертеж призмы с проекциями оснований А"В"С", А"В"С и D " E " F ", D " E " F " , параллельных плоскости р 1 , приведен на

рис.1 (слева). Одноименные проекции ребер призмы параллельны между собой. пирамида призма многогранник конус

Для изображения поверхности пирамиды на чертеже используют фигуру сечения боковых граней пирамиды плоскостью и точку из пересечения - вершину. На чертеже пирамиду задают проекциями ее основания, ребер и вершины, усеченную пирамиду - проекциями обоих оснований и ребер.

Изображая пирамиду, удобно ее основание располагать параллельно плоскости проекций.

На рис. 1 (справа) приведен чертеж неправильной треугольной пирамиды с проекциями А", А" вершины и основанием, проекции которого D " B " C " и D " B " C , лежащим в плоскости проекций р 1 .

2. Построение правильных пирамид и призм

Изображения призм и пирамид приведены на рис.2. На приведенных чертежах ребра проецируются в виде отрезков прямых или в виде точек. Например, фронтальные и профильные проекции боковых ребер призм и пирамид - отрезки прямых. Горизонтальные проекции тех же боковых ребер призм на рис. 2 а, б - точки. Профильные проекции ребер оснований призм - точки 2" (3""), (5""), 6"" на рис. 2 а, точка 1"", (3"") на рис. 2, б, в.

Грани призм, пирамид, которые перпендикулярны плоскостям проекций, проецируются на них в виде отрезков прямых линии. Так, например, боковые грани призм (рис. 2 а, б) на горизонтальной проекции изображаются в виде отрезков прямых линий, образующих шестиугольник, в виде отрезков прямых линий проецируются на профильную плоскость проекций передняя и задняя грани призмы на рис. 2, а, задняя грань призмы и пирамиды на рис. 6.4, б, в.

Основания изображенных тел проецируются в отрезок прямой линии на фронтальную и профильную плоскости проекций.

Построение недостающих проекций точек на поверхности призм и пирамид по заданным фронтальным проекциям на рис. 2 показано стрелками и соответствующими координатами.

Профильные проекции А "", С" построены с помощью координат у А и у С , определяемых по горизонтальным проекциям.

Горизонтальная D " и профильная D "" проекции точки D на грани А -- 1 --2 пирамиды

(рис. 2, в) построены с помощью 2"4", 2""4"" отрезка прямой на этой грани. Аналогично, с помощью профильной проекции 1""5"" отрезка на грани А --1--2 пирамиды (рис.2, г) построена профильная проекция F "".

Горизонтальная проекция F " построена с помощью горизонтали той же грани, проходящей через проекцию 6" на проекции ребра А"1". Горизонтальная проекция Е" построена с помощью координаты Y Е определенной по профильной проекции Е"". В рассмотренных примерах координаты у А , у Е заданы относительно плоскостей д(д", д""), у С - относительно плоскости г (г", г""").

3. Сечение прямоугольной трубы

При пересечении призмы или пирамиды плоскостью в сечении получается плоская фигура, ограниченная линиями пересечения секущей плоскости с гранями призмы или пирамиды.

Простейший пример конструирования детали пересечением исходной заготовки в виде прямоугольной трубы плоскостью приведен на рис. 3. В этом случае деталь - волновод изготавливают, отрезая часть заготовки по плоскости д(д").

4. Построение сечения пирамиды

Наклонная площадка ABCD образована срезом верхней части пирамиды фронтально проецирующей плоскостью з (з"). Фронтальные проекции А ", В", С", D" точек находятся на фронтальном следе з" плоскости, а фронтальная проекция площадки ABCD совпадает со следом з".Профильная А ""В"" С ""D"" и горизонтальная А "В" С "D" проекции площадки построены по проекциям указанных точек на проекциях соответствующих ребер.

Часто требуется построить натуральный или истинный вид фигуры сечения тела плоскостью. На рис.4 для этой цели вверху слева применен способ перемены плоскостей проекций. В качестве дополнительной плоскости принята плоскость р 4 , параллельная плоскости з и перпендикулярная плоскости р 2 . Натуральный вид площадки - фигура сечения A IV B IV C IV D IV . Другой вариант построения натурального вида наклонной площадки ABCD показан на рис.4 справа внизу - A 0 B 0 C 0 D 0 . Для построения использованы новые координатные оси х 1 и у 1 лежащие в плоскости з. Ось х 1 параллельна плоскости р 2 , ось у 1 - перпендикулярна плоскости р 2 .

Координаты по оси х 1 точек A 0 , B 0 , С 0 , D 0 равны координатам по оси х 1 фронтальных проекций А"", В", С", D" этих точек. Координаты х 1 точек С 0 , С" по оси х 1 равны нулю. Координаты у В, y D по оси у 1 точек В 0 , D 0 равны координатам по этой оси (параллельной оси у) горизонтальных проекций В", D". Координаты по оси у 1 точек А, С равны нулю. По указанным координатам на осях х 1 , у 1 строят натуральную величину А 0 В 0 C 0 D 0 наклонной площадки ABCD.

5. Пересечение пирамиды линией и призмой

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рис. 5(слева) приведено построение проекций Е", Е" и F", F" точек пересечения прямой с проекциями M"N", M"N" с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями G", G" вершины и А"В"С",А"В"С основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтальную проецирующую плоскость г(г"). Горизонтальные проекции Е" и F" искомых точек построены в пересечении проекции M"N" с горизонтальными проекциями 1", 3" и 2", 3" отрезков, по которым плоскость г пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции Е" и F" определены по линиям связи.

Изображение пересекающихся между собой в пространстве призмы А и пирамиды Б представлено на рис. 5(справа). Линия их пересечения проходит через точки 1, 3, 4, 6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и точки 2, 5 пересечения ребра призмы

с гранями пирамиды. В общем случае в пересечении многогранников получается пространственная замкнутая ломаная линия, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской. При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.

1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и Ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью

6. Последовательность построения 2-х многогранников

Рис. 6, а. Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням. Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости р 2 , основания пирамиды параллельны плоскости р 1 . Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости р 1 .

Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют и наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы.

Построения показаны на рис. 6, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды). Проекции 1", 1", 2", 2", 3", 3" ,4", 4" точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей в (в"), б (б"), г (г"). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям - прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекциям 21", 22", и 24" точек пересечения горизонтальных проекций в", б" и г" плоскостей в, б, г с горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции 1", 2" и 4" точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции 1", 2", 4".

Проекции 3", 3" точки пересечения ребер AD пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости з(з"), которая проведена через это ребро. Плоскость з пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра А" D" найдена фронтальная проекция 3" точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи - горизонтальная проекция 3". С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости р 2 , ребро AD пересекается в точке с фронтальной проекцией 5 ". В проекционной связи на проекции А" D" построена ее горизонтальная проекция 5".

Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды - 1", 1", 2", 2", 4", 4" и ребра AD пирамиды с двумя гранями призмы - 3", 3" и 5", 5" построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1" 2" 3" 4" 5" 1" , 1" 2" 3" 4" 5" 1" ломаной линии пересечения.

Построение в правой части чертежа проекции 6" 7" 8" 9" 10" 6", 6" 7" 8" 9" 10" 6" линии пересечения аналогично. Порядок построения иллюстрируется стрелками.

После построения проекций линий пересечения многогранников обводят проекции оставшихся частей ребер многогранников.

Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы.

7. Построение сечения циліндра

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости р 1 . Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью б(б"), проецируются на плоскость р 1 в окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции точек 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9" , 10", 11" и 12" эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9", 10", 11", 12" отмеченных точек на фронтальном следе б" секущей плоскости. Профильные проекции тех же точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи.

Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось 10""4"" которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая 1"" 7"" -профильная проекция отрезка -- 1-- 7.

Если расположить на рис.7 плоскость б под углом 45° к оси, то профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции станет равной диаметру цилиндра.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью б построен способом перемены плоскостей проекций на плоскости р 4, перпендикулярной плоскости р 2. Большая ось эллипса - отрезок 1 IV 7 IV = 1" 7", малая- отрезок 4 IV 10 IV =d

8. Построение развертки цилиндра

Построение развертки (рис.8). Полная развертка состоит из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограниченной пятью отрезками прямой линии и кривой A 0 l 0 B 0 - синусоидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

Полная развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник с высотой, равной цилиндру, и длиной L = рd, где d - диаметр цилиндра. Для построения на развертке точек линии среза развертку основания цилиндра делят на такое же число частей, как и при построении проекций линии среза. Проводят через точки деления образующие и отмечают на них высоту до точек эллипса среза - точки 1 0 2 0 и 12 0 , 3 0 и 11 0 , 4 0 и 10 0 , 5 0 и 9 0 , 6 0 и 8 0 , 7 . Соединяют построенные точки плавной кривой - синусоидой. Натуральный вид фигуры среза цилиндра плоскостью выполнен ранее(1 IV 2 IV 3 IV …12 IV) и его по координатам строят на развертке.

Построим на чертеже цилиндра проекции точки, указанной на разверстке точкой М 0 . Для этого отметим хорду l 2 между образующей, на которой расположена точка М 0 , и образующей точки 4. По хорде l 2 строим горизонтальную проекцию М" и по известной высоте ее расположения найдем ее фронтальную проекцию М".

9. Возможные сечения конуса

10. Построение сечения конуса и его развертки

Развертка боковой поверхности прямого кругового конусапредставляет собой круговой сектор с углом ц = d/l Ч 180 ° при вершине, где d - диаметр основания, l - длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 10 внизу) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 10 конуса).

Используя положение образующих на чертеже и на развертке находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния G 0 A 0 и G 0 B 0 соответствуют фронтальным проекциям G"А " С"В". Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки D 0 на развертке найдено при помощи отрезка G "D 1 " - натуральной величины образующей от вершины G до точки D точки E 0 , - при помощи отрезка G"Е 1 " (или G""E"").

Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса l, кривой B 0 I 0 F 0 E 0 D 0 C 0 A 0 и симметричной ей; круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.

На рис. 10 (вверху) показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К 0 этой точки на развертке (рис.10). Для построения проведена образующая G 0 13 0 через точку К 0 на развертке. С помощью отрезка l 1 построена горизонтальная проекция 13". Через нее проведены горизонтальная G" 13" и фронтальная G"13 " проекции образующей G - 13. Отрезок G 0 K 0 = G"K 1 " на проекции образующей G "7 ". Обратным вращением построена фронтальная проекция К" точки К на фронтальной проекции образующей G"13".Горизонтальная проекция К" построена с помощью линии связи.

11. Построение сечения шара

На рис. 11 показано построение проекций некоторых точек.

Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с

помощью проекции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.

Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е".

Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

12. Построение сечений тора

В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей г 1 (г 1 ") и г 2 (г 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью б (б""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.

Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 2 ) касается проекции плоскости б(следа б""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости б (след б"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .

Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей -- геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Построение разверток поверхностей. Параллелепипед и его развертка. Чертеж развертки поверхности правильной пирамиды, прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, правильной призмы, прямого эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения.

контрольная работа , добавлен 11.11.2014


Пространственные тела и их сечения; точка, прямая, плоскость и векторы. Методы построения, задание и построение сечений пространственных тел, исследование свойств сечения. Способы визуализации трехмерного пространства. Создание компьютерного приложения.

курсовая работа , добавлен 15.07.2010


Изучение однородных выпуклых и однородных невыпуклых многогранников. Определение правильных многогранников. Двойственность куба и октаэдра. Теорема Эйлера. Тела Архимеда. Получение тел Кеплера-Пуансо. Многогранники в геологии, ювелирном деле, архитектуре.

презентация , добавлен 27.10.2013


Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.

курсовая работа , добавлен 21.08.2013


Фигуры вращения правильных многогранников, использование их теории. Виды поверхностей в фигурах вращения. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения. Классификация задач на вращение многогранников и вычисление объемов.

реферат , добавлен 25.09.2009


Понятие многогранника и его элементы с точки зрения топологии. Определение площади и боковой поверхности призмы, параллелепипеда, пирамиды. Понятие правильных, полуправильных, звездчатых многогранников. Многогранники в разных областях культуры и науки.

курсовая работа , добавлен 02.04.2012


Куб (гексаэдр) – представитель правильных выпуклых многогранников, его объем, сечения, площадь и свойства. Характеристика типов правильных многогранников в XIII книге "Начал" Евклида и идеалистической картине мира Платона. Отношение к кубу в философии.

презентация , добавлен 03.11.2011


Определение пирамиды как геометрической фигуры, ее виды. Проекция треугольной пирамиды. Основные свойства полной и усеченной пирамиды, нахождение площади и объема, плоские сечения. Пример построения сечения пирамиды с плоскостью по заданным параметрам.

практическая работа , добавлен 16.06.2009


Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.

презентация , добавлен 18.04.2013


Понятие и историческая справка о конусе, характеристика его элементов. Особенности образования конуса и виды конических сечений. Построение сферы Данделена и ее параметры. Применение свойств конических сечений. Расчеты площадей поверхностей конуса.

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Многогранники и тела вращенияПонарьина Евгения ВалентиновнаМБОУ СОШ №432016 годг.Воронеж МногогранникиТело, которое ограничено плоскими многоугольниками, называется многогранником. Многоугольники, образующие поверхность многогранника, называются гранями. Стороны этих многоугольников - рёбра многогранников. Вершины многоугольников - вершины многогранников. Многогранники МногогранникиПризмаПараллелепипедПирамида Элементы многогранниковГрани:АBСD, АА1В1В, АА1D1D,СС1В1В, СС1D1D, А1В1С1D1Ребра:АB, ВС, СD, DA, АА1, ВВ1, СС1 , DD1, А1В1 , В1С1, С1D1 , D1A1 Вершины:А, B, С, D, А1, В1, С1, D1 ПризмаОпр: Призмой называется многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов.Многоугольники – основания призмыПараллелограммы – грани призмыПараллельные отрезки, соединяющие вершины многоугольников – боковые ребра призмы ПризмаПрямая призмаНаклонная призмаПравильная призмаОпр: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниямОпр: Призма называется наклонной, если ее боковые ребра неперпендикулярны основаниям и наклонены к ним под некоторым углом.Опр: Призма называется правильной, если она прямая и в основании у нее лежит правильный многоугольник ПараллелепипедОпр: Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм ПараллелепипедПрямойпараллелепипедПрямоугольный параллелепипедКубОпр: Параллелепипед называется прямым, если его ребра перпендикулярны основаниям.Опр: Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, в основании которого – прямоугольник.Опр: Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны. ПирамидаОпр: n- угольной пирамидой называется многогранник, одна грань которого произвольный n-угольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.Многоугольник А1А2…Аn – называется основанием.Точка S – вершина пирамиды.Отрезки SA1, SA2 … SAn – боковые ребра пирамиды.ΔA1SA2 … ΔAn-1SAn – боковые грани пирамиды. Правильная пирамидаОпр: Пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания является ее высотой. (SO – высота)Опр: Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания, а так же длина этого отрезка.Опр: Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в нее или описанной около нее окружности.Опр: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины называется апофемой этой пирамиды.h - апофема ЗаданиеНекоторые из фигур на картинке являются многогранниками, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены многогранники? ЗаданиеНекоторые из многогранников на рисунке являются пирамидами, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены пирамиды? Тела вращенияТело вращения- это фигура, полученная вращением плоского многоугольника вокруг оси. Тела вращенияЦилиндрКонусШар, сфера ЦилиндрОпр: Прямым круговым цилиндром называется фигура, образованная двумя равными кругами, плоскости которых перпендикулярны прямой, проходящей через их центры, а также всеми отрезками, параллельными этой прямой, с концами на окружностях данных кругов. Элементы цилиндраОпр: Два круга, образующие цилиндр называются основаниями. Опр: Радиус основания цилиндра называется радиусом этого цилиндра.Опр: Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра, называется его осью.Опр: Отрезок, соединяющий центры оснований, а также длина этого отрезка, называются высотой цилиндра.Опр: Отрезок, параллельный оси цилиндра, с концами на окружностях его оснований называется образующей данного цилиндра. Сечения цилиндра КонусОпр: Рассмотрим окружность L с центром O и отрезок OP, перпендикулярный к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P.Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими этой поверхности.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ КонусОпр: Коническая поверхность называется боковой поверхностью, а круг – основанием конуса. Отрезок OP называется высотой, прямая OP – ось конуса. Точка Р называется вершиной конуса.Образующие конической поверхности называются также образующими конуса, радиус окружности R называется радиусом конуса. Сечения конусаСечение конуса плоскостью α, перпендикулярной к его оси Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник СфераОпр: Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки. Эта точка называется центром сферы. Опр: Отрезок, соединяющий любую точку сферы и ее центр, а также длина этого отрезка называются радиусом сферы.Шаром называется фигура, состоящая из сферы и множества всех ее внутренних точек.Сфера называется границей или поверхностью шара, а центр сферы – центром шара. Сфера Точки, расстояние от которых до центра сферы меньше ее радиуса, называются внутренними точками сферы.Точки, расстояние от которых до центра сферы больше ее радиуса, называются внешними точками сферы. СфераОтрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы (шара).Любая хорда, проходящая через центр сферы, называется диаметром сферы (шара).

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

План урока

Тема: «Многогранники, фигуры вращения, площади их поверхностей и объемы»

Тип урока – комбинированный урок.

Цель: сформировать у учащихся представление о многогранниках, фигурах вращения, а также научить находить площади их поверхностей и объемы.

Задачи:

Дать определение понятиям многогранник, фигура вращения;

Познакомить учащихся с основными многогранниками и фигурами вращения;

Сформировать у учащихся навыки вычисления площадей поверхностей многогранников и фигур вращения;

развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;

Формирование интереса и положительной мотивации учащихся к изучению геометрии;

Сохранение, закрепление и развитие пространственных представлений учащихся.

Структура занятия :

Организационный момент (1-2 минуты)

Проверка домашнего задания (10-15 минут)

Сообщение темы занятия, актуализация (1-2 минуты)

Изучение нового материала (17-20 минут)

Закрепление нового материала (45-55 минут)

Итог урока, рефлексия (3-4 минуты)

Задание на дом (1 минута)

Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.

2. Проверка домашнего задания:

Выясняет были ли сложности с выполнением домашнего задания. При необходимости отвечает на вопросы учащихся. Просит некоторых учащихся сдать тетради для проверки домашнего задания.

3. Сообщение темы занятия, актуализация

Сообщается тема и цель урока. Говорит что, тема «Многогранники и тела вращения” важна, так как связана с рядом предметов школьной программы: изобразительным искусством, черчением, трудовым обучением, информатикой.

4. Изучение нового материала:

Многогранник , точнее трёхмерный многогранник - совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном пространстве такая, что:

каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

связность : от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями , их стороны - рёбрами , а их вершины - вершинами многогранника.

Виды многогранников:

Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

Параллелепипед - призма, основанием которой является прямоугольник.

Куб - параллелепипед, все измерения которого равны между собой.

Тела вращения - объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения:

Шар - образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза

Цилиндр - образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

Конус - образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

Формулы для нахождения площадей поверхностей многогранников и тел вращения, а также их объемов.

Фигура

S осн

S бок

S полн

Параллелепипед:

прямоугольный

куб

произвольный

S осн = ab

S осн = a 2

S осн = ab * sinα

l- бок . ребро

S бок =2(a+b)H

S бок = 4a 2

S бок =P сеч l

S полн = S бок +2S осн

V=abc

V=a 3

V=S осн H

Призма

S бок =P сеч l

S полн = S бок +2S осн

V = Ql (Q -площадь перпендикулярного сечения)

Пирамида

S бок =P осн l , l -апофема

S полн = S бок +S осн

V= 1/3* S осн H

Усеченная пирамида

S бок =(P 1 + P 2) l , l -апофема

S полн = S бок +S 1 + S 2

V =1/3* H (S 1 + +S 2

Цилиндр

S осн = πR 2

S бок = 2 πRH

S полн = 2 πR (H + R)

V=πR 2 H

Конус

S осн = πR 2

S бок = πRl, l- образующая

S полн = πR (l + R)

V=1/3*πR 2 H

Усеченный конус

S осн = πR 2

S бок = π (R + r ) l , l -образующая

S полн = π (R 2 + r 2 )+ R + r ) l

V=1/3*πH(R 2 +Rr+r 2 )

Шар

S полн =4πR 2

V=4/3*πR 3

5. Закрепление нового материала:

1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . Найдите объём конуса.

2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45

7. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.

8. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра.

9. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.

10. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.

11. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите боковую поверхность и объём цилиндра.

6. Подведение итогов урока, рефлексия

Объявляет итог урока, называет оценки.

В качестве рефлексии у чащимся предлагается закончить предложения и высказать свои мнения.

Данное занятие для меня…

Я почувствовал(а), что…

В будущем я…

Сегодня работать для меня было…

Мне бы хотелось изменить…

На следующем занятии мне бы хотелось…

7. Задание на дом

1) Диагональ куба равна 15см. Найдите объём куба.

2) Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 30 0 . Найдите объём призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна см 2 .

Выпуклый многогранник Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360 градусов.

Элементы призмы – Основание призмы 2 – Высота 3 – Боковая грань

Элементы пирамиды высота пирамиды 2-боковая грань пирамиды 3-основание пирамиды

Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

ЦИЛИНДР Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра (3), а отрезки – его образующими (4). Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания(1). Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (2). Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. 4 5

КОНУС Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса(5), точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса(2), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания – образующих конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания(1). Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту. Полная поверхность конуса состоит из его основания(5) и боковой поверхности (3). Радиусом конуса – радиус его основания. СФЕРА И ШАР Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (3). Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние- радиусом сферы (1). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью (2). Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью. 3